HOOK · 시작 질문
$(6x^2 + 4x) \div 2x$를 어떻게 ?
Dividing a polynomial by a monomial — distribute the division to each term.
A LITTLE PUZZLE
분배법칙은 곱셈에만 적용될까요? 나눗셈 은 어떨까요?
사실 나눗셈에도 같은 원리가 작동합니다 — 각 항을 단항식으로 나누어 더하면 된다는 것. 즉:
$(6x^2 + 4x) \div 2x = \dfrac{6x^2 + 4x}{2x} = \dfrac{6x^2}{2x} + \dfrac{4x}{2x} = 3x + 2$.
이를 일반화하면 $(A + B) \div C = A \div C + B \div C$ . 분모가 같은 분수의 덧셈을 거꾸로 한 것입니다.
이 차시는 2.2의 곱셈과 짝을 이루는 다항식 ÷ 단항식 입니다. 곱셈은 분배해서 곱하고, 나눗셈은 분배해서 나누면 됩니다. 두 가지 방법이 가능하며, 결과는 같습니다.
CORE · 두 가지 방법
두 가지 나눗셈 방법
Choose whichever feels natural for the problem.
METHOD ①
분수 꼴로 약분
$\dfrac{A+B}{C} = \dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C}$
전체를 분수로 만든 뒤 분자의 각 항을 분모로 나눠 더한다. 각 항은 1.3에서 배운 단항식 나눗셈과 동일.
METHOD ②
역수의 곱셈
$(A+B) \div C = (A+B) \times \dfrac{1}{C}$
나눗셈을 역수의 곱셈 으로 바꾸고, 2.2의 분배법칙을 그대로 적용한다.
시연 ① · $(6x^2 + 4x) \div 2x$ (두 방법 비교)
$(6x^2 + 4x) \div 2x$
METHOD ① · 분수 분리
$\dfrac{6x^2 + 4x}{2x}$
METHOD ② · 역수 곱셈
$(6x^2 + 4x) \times \dfrac{1}{2x}$
▶ $(6x^2 + 4x) \div 2x = 3x + 2$
시연 ② · 3개 항 $(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a$
$(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a$
STEP 1. $\dfrac{8a^3}{4a} = 2a^2$
STEP 2. $\dfrac{-12a^2}{4a} = -3a$ (부호 그대로)
STEP 3. $\dfrac{4a}{4a} = 1$
▶ $(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a = 2a^2 - 3a + 1$
⚠️ COMMON TRAP
마지막 항도 잊지 말 것 !
✗ 흔한 실수
$(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a$
✓ 올바른 풀이
$(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a$
$\dfrac{4a}{4a} = 1$ 이지 $0$이 아닙니다. 같은 식끼리 나누면 항상 $1$이 남습니다.
시연 ③ · 음수 단항식으로 나누기 $(9a^2 - 6a) \div (-3a)$
$(9a^2 - 6a) \div (-3a)$
STEP 1. $\dfrac{9a^2}{-3a} = -3a$ (부호 반전!)
STEP 2. $\dfrac{-6a}{-3a} = +2$ (음·음 → 양)
▶ $(9a^2 - 6a) \div (-3a) = -3a + 2$
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples combining all you've learned.
EXAMPLE 01
두 문자 혼합
다음 식을 간단히 하시오: $\quad (10x^2 y - 5xy^2) \div 5xy$
1
분수로: $\dfrac{10x^2 y - 5xy^2}{5xy} = \dfrac{10x^2 y}{5xy} - \dfrac{5xy^2}{5xy}$.
2
첫째 항: $\dfrac{10x^2 y}{5xy} = 2x$ (계수 $10 \div 5 = 2$, $x^{2-1}=x$, $y^{1-1}=1$).
3
둘째 항: $\dfrac{5xy^2}{5xy} = y$ (계수 $5 \div 5 = 1$, $x^{1-1}=1$, $y^{2-1}=y$).
▶ 답: $2x - y$
EXAMPLE 02
미지의 식 을 찾기
어떤 다항식을 $2x$로 나누었더니 $3x - 4$가 되었다. 어떤 다항식인가?
1
나눗셈의 역은 곱셈이므로: 어떤 식 = $(3x - 4) \times 2x$.
2
분배법칙: $3x \cdot 2x - 4 \cdot 2x = 6x^2 - 8x$.
3
검산 : $(6x^2 - 8x) \div 2x = 3x - 4$ ✓
▶ 답: $6x^2 - 8x$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$(6x^2 + 4x) \div 2x$를 간단히 하시오. (답 형식: 3x+2 )
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{6x^2}{2x} + \dfrac{4x}{2x} = 3x + 2$.
$(8a^3 - 12a^2) \div 4a^2$을 간단히 하시오. (답 형식: 2a-3 )
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{8a^3}{4a^2} - \dfrac{12a^2}{4a^2} = 2a - 3$.
$(10y^2 - 5y) \div 5y$를 간단히 하시오. (답 형식: 2y-1 )
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{10y^2}{5y} - \dfrac{5y}{5y} = 2y - 1$. 마지막 $\dfrac{5y}{5y} = 1$ 잊지 말 것.
$(8a^3 - 12a^2 + 4a) \div 4a$를 간단히 하시오. (답 형식: 2a^2-3a+1 )
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{8a^3}{4a} - \dfrac{12a^2}{4a} + \dfrac{4a}{4a} = 2a^2 - 3a + 1$.
$(15x^2 y - 10xy^2) \div 5xy$를 간단히 하시오. (답 형식: 3x-2y )
확인 풀이
SOLUTION
첫째: $\dfrac{15x^2 y}{5xy} = 3x$. 둘째: $\dfrac{10xy^2}{5xy} = 2y$. ▶ $3x - 2y$.
$(9a^2 - 6a) \div (-3a)$를 간단히 하시오. (답 형식: -3a+2 )
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{9a^2}{-3a} = -3a$. $\dfrac{-6a}{-3a} = +2$ (음·음 → 양).
▶ $\mathbf{-3a + 2}$.
어떤 다항식을 $2x$로 나누었더니 $3x - 4$가 되었다. 어떤 다항식 인가? (답 형식: 6x^2-8x )
확인 풀이
SOLUTION
나눗셈의 역은 곱셈: 어떤 식 = $(3x - 4) \times 2x = 6x^2 - 8x$.
검산 : $(6x^2 - 8x) \div 2x = 3x - 4$ ✓
직사각형의 넓이가 $4x^2 + 6xy$이고 가로의 길이가 $2x$일 때, 세로의 길이 를 구하시오. (답 형식: 2x+3y )
확인 풀이
SOLUTION
세로 = 넓이 ÷ 가로 = $(4x^2 + 6xy) \div 2x = \dfrac{4x^2}{2x} + \dfrac{6xy}{2x} = 2x + 3y$.
▶ $\mathbf{2x + 3y}$.